日全食现象的分析探讨 ——太极坐标系的构建

  • 日全食现象

“据中国天文学会和中国科学院天文台测定,嘉兴市是这次日全食中国陆地时间最长的城市之一,并被授予‘2009日全食指定观测地’。”这是对2009年7月22日属于沙罗序列136这一天在中国长江流域将发生日全食的有关媒体报道。21日我出差上海,途经嘉兴,机会难得。可天有不测风云,一夜狂风暴雨,雷鸣电闪。直到22日早晨,窗外依旧阴雨绵绵,等待多日的自然奇观就这样被乌云全食了。无奈,只有通过电视银屏观看日全食景象,唯一庆幸的是,身临其境真切感受到了天昏地暗的美妙时刻。

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日全食是一种特殊的自然现象,是天空中月亮将发光的太阳遮蔽的现象。由于月亮绕着地球转,地球绕着太阳转,而地球本身又在自转,所以太阳、月亮、地球三者处在同一线的机会,尽管概率很小,这种现象还是会出现的。由于地球和月亮的公园转道呈椭圆形,当月亮处于地球与太阳之间的公转平面附近,且月亮至地球的距离恰好是地球至太阳的400倍时,天空中的月亮看上去与太阳一般大小,于是日全食并发生了。

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  • 日全食过程分析

其实,天上的太阳、月亮与人类文明是休戚相关的,人们已习惯了在日出日落、月缺月圆、日月相推、昼夜更替的自然环境下生存。在我国,古代贤哲早已把太阳和月亮确认为产生一切阴阳事物的根源。太阳为太极图阴仪中的鱼眼,月亮也称太阴为太极图阳仪中的鱼眼,它们共同构成了传统的太极阴阳哲学理论。所以,日全食现象恰好可以用于解释太极图中阴阳交媾、阴阳转化的一种特殊情景。这一点对于热衷于传统文化研究的爱好者来说同样具有振奋人心的感受。

月亮与太阳同方位,表面再也没有任何光线可反射,黑黑的圆圆的,而太阳放射着巨大的光芒,亮亮的圆圆的。一黑一亮,日全食看上去似乎是一起极为简单的相互遮挡的过程,是黑白两个圆盘的重合叠加。然而,伴随着月亮渐渐遮挡太阳的一刹那,古老东方的人们感受的是另一种神思恍惚。天地日月在太空中的完美组合,展露出大自然运化的神秘踪影,演绎着我们祖先用智慧凝聚的太极文化的内在本质。

太极指宇宙的本原,阴与阳是组成太极的两个部分,阴与阳能够相互转变。运用这一学说,日全食现象几乎是一个阴阳运变的完美过程,是一个完整的太极系统。为了真实体现日全食过程,我们运用月亮和太阳的交合面积来表述。这一系统的阳为太阳发光部分的面积,而阴则为太阳不发光部分的面积即被遮挡部分的面积。为了方便讨论,我们把发光部分的面积称之为发光面积,用S+表示,把被遮挡部分的面积称之为阴暗面积用S表示。因此,日全食过程分析可以用日食时太阳发光面积或阴暗面积的变化过程来表现。

在日食之前,发光面积最大,阴暗面积最小。在初亏食既阶段,随着日食发生,发光面积由大到小,阴暗面积由小到大。到食甚时,太阳完全被月亮遮挡,发光面积最小,阴暗面积最大。而在生光复圆阶段,两者变化刚好相反。整个日食过程结束,两者又恢复到原来的状态。

日全食现象也可以简单地理解为两个圆盘在空中相互交叠的过程。其中太阳为发光的明亮的圆盘,而月亮为不发光的阴暗的圆盘。为了便于分析计算,我们把两个圆盘的视半径假定为一个长度单位,即R = 1。这样,两个圆盘的象视面积均为S =л。在日全食过程中,即初亏、食既、食甚、生光和复圆的五个阶段,发光面积和阴暗面积大小变化情况可以用下图演示。

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日全食现象是太阳、月亮、地球三者相对运动的结果,可以假设太阳相对静止,而月亮相对太阳做匀速运动。设平面坐标系以太阳中心为原点,太阳与月亮两中心连线为X轴,太阳与月亮边延的交点坐标为A(x,y),交点与原点和X轴组成的角度为θ。V为月亮相对太阳的平移速度,T为日食全过程所需的时间,t为日食发生的时间。那么,x、y与R、θ以及V、T、t之间的关系如下:

日月相对运动的速度    V = 4R/T

日月边延交点的坐标    x = R-Vt= R(1-2t/T)

y =(R-x1/2

日食角度              θ= arccos (x/R)

当日食时间t从0变化到0.5T时日食现象为食既阶段。当t从0.5T变化到1T时日食现象为生光阶段。

由图三可知,在初亏、食既阶段,日食阴暗面积可以表示为日食角度θ的关系式:

S = 2θ- sin(2θ)  (0°≤θ≤90°)         (1)

式中:S为阴暗面积,θ为以原点(太阳中心),太阳和月亮两中心连线与边缘交点组成的夹角。

发光面积为:

S+ =л-( 2θ- sin(2θ))  (0°≤θ≤90°)  (2)

在生光、复圆阶段,日全食阴暗面积则为:

S = 2л-( 2θ- sin(2θ)) (90°<θ≤180°) (3)

发光面积为:

S+ =( 2θ- sin(2θ))-л  (90°<θ≤180°) (4)

  • 日全食的图形表示

应用以上四个日全食面积公式,可算出不同日食角度θ时太阳的发光面积和阴暗面积,如表一所示。

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由计算表可以简便绘制出发光面积与阴暗面积的平面坐标图形,如图四所示。太阳表面积恒定不变,曲线下部浅颜色纵坐标数据为发光面积,曲线上部深颜色纵坐标数据为阴暗面积,发光面积与阴暗面积之和为太阳表面积,即S = S+ + S =л。横坐标为日食角度θ,从0到180度反映出日食的两个阶段,其中从1到90度为初亏、食既阶段,从90到180度为生光、复圆阶段。当日食角度θ为90度时,日食过程发生食甚现象。

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  • 雷达图的发现

在发光和阴暗面积计算式中我们发现,日食角度θ的变化范围为0~180度,而四个计算式与日食角度之间的关系都是2θ。设φ=2θ,那么(1)(2)(3)(4)式可以简化为:

在初亏、食既阶段:

S = φ- sinφ  (0°≤φ≤180°)         (5)

S+ =л-φ- sinφ  (0°≤φ≤180°)       (6)

在生光、复圆阶段:

S = 2л- φ+ sinφ (180°<φ≤360°)    (7)

S+ = φ-л- sinφ   (180°<φ≤360°)    (8)

日全食发光面积和阴暗面积随日食角度的变化范围就从0~180度转化为0~360度。360度恰好是一个周角,满足周期运动变化规律,这就为我们用极坐标的形式来表现日全食过程提供了条件。在数据处理程序中,极坐标可以用一种称之为雷达图的方式表示。雷达图是极坐标的一种特殊表示方式,任何质点的运动轨迹都可以用极径和极角的关系来表示。雷达图由一个极点和一条垂直向上有长度单位的射线(极轴)组成,而且极角是按顺时针方向变化的。

用(5)(7)式可绘制出日全食发光面积变化的雷达图,用(6)(8)式可绘制出日全食阴暗面积变化的雷达图,如图五所示。

 

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也可以用(5)(8)式或者(6)(7)式共同绘制出日食发光面积与阴暗面积组合变化的雷达图,如图六所示。

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出乎意料的是图六所表现的日全食发光面积和阴暗面积变化雷达图居然有着太极图的模样,由阴与阳两部分组成,只是图中的S形曲线不尽完美。

仔细分析发光面积与阴暗面积的平面坐标图发现,实际上,日全食过程中日食角度随时间的变化不是线性的,而是一个反余弦函数关系。因此,按等分角度的方法绘制图形时,不是直接反映日全食过程的最佳方法。日全食过程中月亮与太阳相互交叠,其相对运动速度是不变的,也就是太阳与月亮边延交点坐标A(x,y)的X轴方向运动是匀速的(实际上对于观察者来说x是月亮相对地球运动过程中的一段圆弧,在视角很小的范围内x可近似为线段)。所以,在绘制图形时可按x随时间变化的规律来表示,如表二所示。

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如果说图五是按周角特性绘制的雷达图,那么我们可以用表二的数值按系统变化的时间周期来绘制的雷达图。日全食发光面积和阴暗面积按时间变化的过程如图七所示。

同样,如果日全食前半个周期用发光面积表示,后半个周期用阴暗面积表示,可以绘制出图八所示的发光面积和阴暗面积组合雷达图。

 

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图八中的S曲线与传统的太极图已经比较接近,由此可以联想到太极图的绘制方式。太极图中间的S曲线在极坐标系中是由两条曲线构成的,并非按古代概念连续不可分的。后来得知李仕澂(东南大学教授)在《玻尔“并协原理”与〈八卦太极图〉》一文中也是用两条阿基米德螺线绘制出太极图形的。因此,用发光面积和阴暗面积表示的日全食现象可能蕴藏着太极图阴阳变化规律。

  • 太极坐标系的构建

在图八的日全食发光面积和阴暗面积组合雷达图中我们绘制出了一个较大的外圆。这个外圆表示的是太阳的表面积,就是我们平时观察到的象视面积,同时也是发光和阴暗变化的最大面积,或者说是日全食过程中每一时刻的发光面积和阴暗面积之和。设发光面积为阳S+,阴暗面积为阴S,太阳的象视面积就是这个阴阳系统的和即S,用数学表示为

S = S+ + S                                (9)

组合雷达图在初亏、食既阶段用发光面积阳S+ 表示:

S+ =л-φ- sinφ  (0°≤φ≤180°)       (10)

在生光、复圆阶段用阴暗面积阴S表示:

S = 2л- φ+ sinφ (180°<φ≤360°)   (11)

其中

φ = 2arccos x = 2arccos(1-2t/T)       (12)

T为系统的变化周期,即日全食持续时间。

在中国古代一直都没有坐标体系的概念,只是从漫长的自然生活中感悟到一种能够表达观察现象的体系存在。从日全食发光面积和阴暗面积组合雷达图中找到了一种比较适合绘制太极图的坐标系。用这种坐标系绘制的图形要求由两个函数表达,而且两个函数之和为常数,函数具有周期变化特性。

这一坐标系实际上就是雷达坐标系的变体,是将雷达图分左图右图(或上半周期下半周期)由两个互补的函数表现。因此太极图具有雷达坐标系的基本特征,同时也深透着中国传统的哲学观念。太极图理论把同一事物的两个相反方向或角度的观察结果归纳为阴与阳。如日全食现象中发光面积为阳,阴暗面积为阴。日全食现象由阴与阳组合而成。日全食过程可以理解为发光表面由阳转变为阴,再由阴转变为阳。从没有遮挡时的阳极开始初亏而阴升,食既到食甚是阴不断发展到了阴极,之后开始生光而阳升,慢慢复圆还原到阳极。所以日全食是一个阴升~阴极~阳升~阳极渐渐变化的过程。

阴转阳、阳转阴的思想反映在极坐标图上就是事物到了极点时要从相反的方向或角度去观察现象。在日全食过程中,食既阶段与生光阶段是阴与阳两个特性的现象,所以在食甚的时候也应该进行观察角度的转换。

由此可见,日全食发光面积和阴暗面积组合雷达图是一个实实在在的太极图,如图九所示。

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  • 结语

本文通过对日全食发光面积及阴暗面积变化过程的分析计算,并运用平面坐标系、雷达极坐标系绘制出日食面积变化图形,从中发现日全食现象可以描述为一个周期运动的变化规律,具有太极图模样。从数学演绎表明,我们生活当中出现的各种现象原来都可以用周期性变化规律进行表述。这种周期性变化并不一定是绝对的圆周运动,可以是一个完整的变化过程,能够返回到原始状态或反复循环出现的现象。而貌似周期性变化的过程都可以用阴阳两个过程的组合雷达图展现,我们把组合雷达图称之为太极图,把绘制组合雷达图的坐标体系称之为太极坐标系。所以太极图是用太极坐标系绘制的极坐标图形,它包罗万象,具有神秘色彩,值得我们为此深入研究。

 

 

注:沙罗周期这个名称来自古巴比伦,它的希腊文含义是“重复”。古巴比伦人早在两千五百多年前就知道了日食重复现象,并把19 个食年几乎恰好等于 223 个朔望月即6585 天这一周期定义为沙罗序列136。如果将2009年7月22日往前推5个沙罗周期,即32927天,我们可得到一个日子:1919年5月29日。在那个日子里曾经发生了一次属于沙罗序列136的日全食,它的持续时间也很长为6分51秒。熟悉物理学史的读者看到这个日期也许已经想起来了,是的,在那一天英国天文学家爱丁顿 (Arthur Eddington, 1882–1944)对广义相对论中光线的引力偏折效应进行了检验。那次检验也许是日全食期间所有科学研究中最著名的一次,正是它使得沙罗序列136更加出名。

作者:叶阳红,中华易学大会代表,易学与天文学专家

参考文献:

1.《太阳的故事 (四)》 卢昌海的个人主页2010年4月15日

2. 《玻尔“并协原理”与〈八卦太极图〉》作者李仕澂《周易研究》068-076页1994年第4期

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